\noindent \thepage\hfill \QTR{bf}{A Scientific Report}} %} %TCIDATA{OddPages= %H=36,\PARA{038
\QTR{bf}{A Scientific Report}\hfill \thepage} %} %TCIDATA{FirstPage= %F=36,\PARA{035
\thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{The Nephroid} \begin{center} \textbf{Kristian M. Cozyris} College of the Redwoods \end{center} \begin{quotation} \textbf{Abstract.} This report is intended to further my understanding of the particular plane curve commonly referred to as a Nephroid. \end{quotation} \subsection{Description} \noindent Many years ago, gentlemen by the names of Huygens and Tschirnhausen became fascinated by the pattern traced by a point on the perimeter of a circle rolling about the circumference of a larger circle. \ In a special case, where the $r_{circle1}=\frac{1}{2}r_{circle2}$,\ the path traveled by this point forms a kidney shape, later named a Nephroid by the mathmetician Proctor. \qquad \FRAME{dtbpF}{2.1223in}{2.1223in}{0pt}{}{}{epitrochoidnephroidgen.gif% }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.1223in;height 2.1223in;depth 0pt;original-width 150.5625pt;original-height 150.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'epitrochoidNephroidGen0000000000.gif';file-properties "XNPEU";}} \qquad The Nephroid is in the epicycloid family (it is a two-cusped epicycloid). \ It was studied by Huygens and Tschirnhausen in relation to caustics, a method of deriving new curves based on a given curve and a point. \ It was also studied by Bernoulli and was proven to be the catacaustic of a cardioid. \ That is, the envelope of light rays coming from a point (as if the point were a light source) and reflected from the cardioid as shown below, where the red dot is the light source: \qquad \FRAME{dtbpF}{2.4863in}{2.4863in}{0pt}{}{}{causticapplecore.gif}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.4863in;height 2.4863in;depth 0pt;original-width 249.1875pt;original-height 249.1875pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'causticAppleCore0000000000.gif';file-properties "XNPEU";}}\FRAME{dtbpF}{% 2.981in}{3.243in}{0pt}{}{}{nephroidbycardioid.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.981in;height 3.243in;depth 0pt;original-width 212.3125pt;original-height 231.125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'nephroidByCardioid00000000.gif';file-properties "XNPEU";}} \subsection{Parametric Equations} \qquad A set of parametric equations which describe a nephroid conform to the formulas: $\qquad \qquad \qquad \qquad x=3\cos (t)-\cos (3t)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad y=3\sin (t)-\sin (3t)\qquad $multiplied by any scaling factor $a$ (that is, multiply both $x$ and $y$ by a scalar $a$) with $0\leq t\leq 2\pi $ Some interesting properties of the scaling factor are that: \subparagraph{$4a$ is the distance from cusp to cusp} \subparagraph{$12\pi a^{2}$ is the area of the Nephroid} \subparagraph{$24a$ is the arc length of the Nephroid} \subsection{Image} \FRAME{dtbpF}{416.4375pt}{304.25pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "T";width 416.4375pt;height 304.25pt;depth 0pt;original-width 69.25pt;original-height 69.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'EL906E00.wmf';tempfile-properties "XPR";}} Using Matlab, this image of the Nephroid was created using this M-file syntax: \textsc{t=linspace(0,2*pi,1000);} \textsc{x=3*cos(t)-cos(3.*t);} \textsc{y=3*sin(t)-sin(3.*t);} \textsc{plot(x,y)} \textsc{title('x=3cos(t)-cos(3t), y=3sin(t)-sin(3t)')} \textsc{xlabel('x-axis')} \textsc{ylabel('y-axis')} \textsc{axis square,shg} \subsection{Usefullness} Theoretically, I suppose this curve could be used to study the phenomena of refraction (perhaps to predict paths or patterns of light or sound waves). \ The actual \textit{physical}$\ $curve isn't used for anything cool (like Huygen's Cycloid clock). \ The resemblance to the human kidney, however, is very interesting to note. \ Perhaps the properties of absorption or other kidney functions are in some way improved by this shape. \ A fascinating index of study, indeed, but unfortunately out of the context of this report. \subsection{Bibliography} I owe the entirety of this report to the infamaous {\Large Xah}, without whom's tireless internet resources I would have been direly without information. \ {\Large Xah's} magnificence can be experienced through: \subparagraph{ http://www.best.com/\symbol{126}xah/SpecialPlaneCurves% \_dir/specialPlaneCurves.html} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/nephroid.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% Start /document/epitrochoidNephroidGen0000000000.gif %%%%%%%% GedQxdSXHC@r@HO@@|O@@dYfYB@@{B@@@@@@@@@@@@@@@pB@@@@@HC@r@Ht@c`n\{OLJgt j}bszMo{YDJbc`fghijkRdlopqronsvwxQAAN{hug|e[hGaDCucwqeL[jcgQgRgF[p`K@eXeJW j[Se}swnfbr|zlplPSnMDvxTWuM]xydOs^Nsmu_oi_TqWNA^C^yQwBd\HLEJCcoL`HVYe@V^IfY jIeNvpbIvPgk@IJTjyihfJjcAjFbBBi^XjjtVKmlBr`@~JVi`kBsZ{iUJ\fjbn]]L@@QzrYD\q BPlmO[SrmrLvyqymCXLeYSVrGn}KfK^zNDkzmgH{nG_WpK_}qiH~vkOWnt~SGzApAFCARpCjB CbPi`nOtPvupEJqdTBEDqe\qIrbZlC}_hFwguj`GAFo~xQJiFFyDPiIAAK`JqpK[IEfIlNIM]I SbYGlIM}iIxIG@ZZrwPdtRDZHJDgZZS{`dPFWAQy`RmPtdVuBi|jZolQVujXmDWmgW_pUY@[hv XYkVK{AaKDFI\Ckp\{VsIVH@_cjEUrQqkwjUxt[n@\ESwTmwbWPcGIzFTcMLQRKegheo|BslfkW _ykQ{lhg@gGm|jAhMmjWwj[MCJmkcGlc]{fMmSgmo]vrmnipdApc]Hb_rC~]ok@yf`qyprO^CLC oi\sSzt]NhR}_WuY~pAuSYfgb@glnwgi@Kl[v~s{~TNKxOa{IBbkcDWToShOZQd|ky}nqzg ^E`mpQyDQD~AMGQtM_}w@RAKHCZ]NxC^F`BB^ASHEVaoC`tDPhZqDWH|ya]xqeaDxFvJ_HpdTiH @xTDvxmAkhLubgd]MVSCzMPgHkQHBVNfJrextcafL@dAYLFDlWAZCvFNfdwUQRHEtQ~b_STFdCY |h_Vf]`d[eVNeywIpS]BTFcmuXvGoD}lcXHXJdXYqleWfSYE{p]~feR\NLsiwt_LChyCbxJafXB NJcAJCHDnPaVAzIelCyibJNOZYRQKzaMCODF\idG_T]iugjiHQivRtxi~_jjFejlZQ}j@T_U_qj {|Y~UbUkGdkjk[TojOsjQ~kjc_qkCKTE^Gkm~YKlJ{iylcqBm^`tNmVeuZOUKvZj[kmvmrvwz maKqNnd[y^ARVwIjBwzeia[panLYGPjVh|bB]jTYog{}JoZKcjorC}FoI{nosccApFXBkjMJtJ pKivlpFlS~oRL]|p[VAWkXL|EizyDWEzQpfkbwZNl[I|TgDAGkL~dGirSKLSpba^qrZAXxKg[@z e]kCrYfLDXsQrDB[@MKHt`xc@V}ZQf[F]\mj|gjNfQwScp\yPl`V]}XrPxV{iV|Zh`xd|YtkxWS dvHY_DHMdnSnhn}tiJZGtaMU}vp]lYusmIRbymS\kAn`OxD^aKxRbagxJ~bsxMnacxN^dOx]Dsj L~}R|O]{F{]If^v]NcwXnJb]GuJRcDpk|]prho_dL@VzpmG_IwyLFZwZsnQU~KjvDqZug[ReJRO Xn_GHUeayMUVnghupW\^~gguwx_feder[VF_`M}jRuwUPOf}^SfkSQ}Qz{YvcuFBNT~_y{NM M@J}_OxoiRQO~dqo|ChP]UNGk_~kcRD_v\xJed|_`CMrNs~L_p_tIFX^a_YyRHwmPaC\kTAu^ao FqOhThEn`CFqR{KnTUbIhNOh\BDJs@IvDErVr@J{LaHjTHAYHqNdanP]DLDG^CZ[XEYtjCO@|DC ypXhTJC^]~W^maHusBnhxH\lCEx@CJCaXnC_@A`ea|RS^]LbUQe`tJK^JvAxp`XlrQy|TAQjIU @`Kb\Ncp@hc{BdICRN]nZf[tB`oHNrQnsuZ`eBxauqxXvASUDFNaj{xxr_mG[]KRi`b\Q~HwcQR yxdDdUIgXWRCVf\_mIOW]rrugDZUlZdNrWShtY}IXddRPwjdTb@`D@lC %%%%%%%%%% End /document/epitrochoidNephroidGen0000000000.gif %%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% Start /document/causticAppleCore0000000000.gif %%%%%%%%%%% GedQxdSXKEpRADO@@|O@@LC@CpC@@@pB@@@@@KEpRADd@sycin\{OLJgtj}bszMo{eBUa_G c]fQh^jKl\nMpWrZtmdxOvzoyCr{NDXHqbFSXZDJcLOBJfo`|rHuGnjPp~sSsRFt~C\xY`UNh{G mbYlvJivSYwxxZAalKBkY}joWwi\PEe[X@g`D~EQzyUJ[}ucYyxaPRi\AYvcReDEDIIbFFh[xUX G]ZIfMb@LhhrfwTIlLbdBnRklUnzlOMFLfvSa`~yNAUDpvzyqvzrrjvlWvPCjljkssfk`lLZEEg jCZcxm`SiI~NywICMrYWMrlsx]QzmcLGjgk{\tacttOx[mbGKyApNujI@m{uhubt}eMeOKUB~A qCAo]iJFvmGMD@~_@gAIJGmVfDiFIwgAsd|rEjbxkZVAwbJSYGWxd\wmNWCgsF_cxtBHsXYtveB dBYYlnFuvcMqyXjVESZNSf@CSYlYvIEBfEDJC~YSca]^ZISQRZuhPhK}FSetJqTEKxHcXtXJBO gPkzMB{AU`WGgVSsOWkUgy`[HWeY{xETh{EMJ[eUY[|~Dl_ngX[i^gjfG[HS@AyxFpj`ek^s\Xg gHdZaaiuN]QiZHqck`GmadisF}fWfS[MugZrtYK]iuqHpJhydq[icwZTeKXcwQW\SE~p]ipA@vs Nuqyv]]mkGnrBPl{Jscj}\rOnNU[w{~jS|LaKs@rQwMkknkiZ{e}nMm}s~vftuYodrqYns~m]k G@]PCA_\^YuhQZcveAYyGM]Qnu}a`|WeaRdwk\Z]DENYQhaUC]vDt`Qx_QRiW^DbbTuY`mcRH[K eQa[hHLF`^g~I\wGpA[ByrY[geTUcTH}E[@x{pd[S@LcbsFMWaXVI^|SU^dsvp]Xeg}`Z\u^TY\ iMj[hD[YVhVN}chYamcXX\XPNijxbjgP@e}vBMTDgLB^zWk}VOcsaKvXp][Iumfi_yPYhEJaQ iOVbZrdj`vYWE@[hfni\Jg~Ncssl_lvtAdjIm]heYd}UnEBRjAxuiqjlriuyItFuJYYHUIW^aQ e_xgpbYqa]ILehbiaMfDh~C|ejlr|Y_YIY\kxiqXkXjcqfgDaMYMwt`d~Y_RclsXJiIkq~hjcV FmAdMR_kEuGP[qQmhxebiehIE[jf{ecE{je[Ne]Ua~Xyvcaw`fX@lVj[rGonTteZtWv{SfiaK~ bmJ[tEjZfQV`}{calEKGjf|xXQO_CUFW_Upjj``pZGR|DsAq\kmlshwz_nYhtqcKOkIXYrpf|j fgagCG_XDEAtlLGnY`bPEpibenfxPRRYlFGpMIrRlMGU[UJ{jXhasqZuWL_akoxYKsHabHpiBR UudF|Ib^|K]Wb|ibcy{rFwJStBxDeK_QnM[sQk}BDsSZ_Bp}xoNXoMvBfa@Tgj_}oGh_Wh]X_ca k[}bvt[urv^n}rM^}hbYPexRpovSyPaqg}sn}wAruEAozJtk]fNfi[xVmoCV[JE{bnnjsrllQ~x B`QHMcZmyJL_Mz|A~J_y_MEBHrigB|SLb_bHWSD~a~HRroZs[jA[]oDb_xs\KHKr}}Jha[VwLL {LhBY_Z]GGZrK~``CogzA~]elYQmgSARYPQH[NEcG}AcpwR`[`rBALN]Ej`NKxJPBB@u_fcCtU KDZ@AYEMNSEdO`AE`|ik`hx}@lX`}oaVIAmPBkIOdTsH\B^Aq`QA^h\{@Bnl_OHEVBC]dQHL`BR WZpGN@EFtMwwKty[bb\PtbTlC~DS}hBuVqomuoHGBEqbUAUFkJREAccPeTZHR}EID[QhCVDH rFk_tMuHGlNn@mRZPohGyEZmzb@r@i`\PRHKdFrCIbLQVHEClHxw}sJxwxI{qowFLLjHycpQ\x` p@`FHN^DAXIjSfEidVRRqelDJGQeXJffRKjECJ[ErGBH{qEwLg@{ES\TjCiF}NkAT|lIKGWhq` ioTWVLA]tKZXNHWjktJUpbAOkVrPdHOdHyj{X\CqRPG|BLcUvG_AyROYmD|Igv_vroVV{Zj{bOx c}uLtDFOZYWePg^\p]JIRsdtsc{I\MHbxsHitxQNU|R@T{hy|XRVPFRLQboK\fxR[@PTF[tgG| |I~q``hCY~CDV~@ONKxj|RAGxaIgMWdzF~jt^GQPTD|fiKVQyJ\hDUUFc|DPTRid|iQOEP|iY ZNdLbzpgdptDvlAF]hf\NxB[X]f~`TQBipM]RREfPKmit\JHJmN]FhWG{yf`PITfL[gbZqxePbo kRyXToxMiRGn\RT]Oig|_@TmzTDcukdgHu]g]eHM^RRSdkdAEd^g|UEriDDRYNFAVtOer@MKIOu P{oLdbyC}eNL|TfdFMqFVuCQUYV_Y_BNW[HI`vQRzDch_~KqT~YdU}BY~R{hei}XL]mVKW`wtNu YgKcsQy[RmPbD^ki~zpJ{@@HSdNeFWCxRW_iU~ofhKWLYgMVbx@IJQWxgSWbuR_NMdFem`UpPU L|ZFd{R}\gYRowex[\[g[_StftEe]qpOBuZvi`aNh`QXIGU^c_YyllgjsZkevN`DOMikJwrifbv ihQ@CuZ{VJWjyNvttdhZbbK~lcuEhu_VYfTbv~d{PLGm@HJhEiFl[LlFN}yJpA_NEp@Jnj^m\y Ze^yM^AozM}zLTLnJK\Z|D`gmRHgIza{AQknhUMJKI[U`CXZN|VQj]E^KT{wvROVn]WHhdi}Hwy MT]cnCDE|J]~FeJkLj[|zrJb_[WSodUiRJKa]lvmf|cRIQYRhBVKU[UB\SqWbxk{AqgRfYVfw_t je\qMdIaea]p`fsBfnYcfAokR}|pQy|rHPrFDcjQAGqgSZHN[dEe]sCKtiDvfhzheur{s}Im jc_Afqnr@wlvLsFm|}}]JhzPrvU{AcAnk@igOq\GSxRbGXsRK]@t@CzLO[mDrUSJs^MctWkGIS TYfZjAM[fpMm@gmNvYgl^Nzrb{buIDWu]GU|h]RpsLKUijZOZQsbgItZza^LoeIdyvvBfog\myi 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XbtGoHqGjWzeMS`QKE_h]rh@Zh@yshwxMWKGjuzG@wVV}@VSagpg@ITuNQ{XVhVXipbxdxRUpgL qzt`x]CRDbasx[GTQ`hfVg@QqXHxdfU@AqHBdwwHJDoeMgwb{wMi|GO`QvsfNimVwt~vJhcXhQ yfTSZTTDMYzPvtAYBCjcG^yEbVLFV_GXADldia{aX@LMkHqabXCDXI^S^p]_UiKkCEEdYnN] VTvMmZQHVeFcmdt\uStdHd}cDbu_de`_yOmNbd~Zbc|UpQ@X[SIXAe[`nLWQPaH[hSZO|Yr^]d| XgcTXuUHTLVXFjdVmWx`pcndj^YUXQP]KIjbfGpWyeF_G]GTv[VXOcTfNffcFeHW``bMOdkc]Z WdA^ag^xC][raweg\JGjDgLA_bWuPcUuKJLgYJURS}Vg^^Eufz^VUT`oGMZbU~fOYkbbErfxbb eOVRTaauGo]gb`fTxfDN{`GREY~XoehTKJlf\fy\vN~LiTzMZUl]|fgc]N`OFfyy]Up|MDNnA aACaxe~IixQQ\n\hMqXEP]WJ}\|idENrC^}@JATZHQ|\}Ml\jQzmOzpUcusTvthdZyk\ey[piYD M~Avhix|MdMHak\{m[N^MVNhI[IlQbDdx]\[pZm^VG}rXlLGq[iOjAJCdXJePXrnTKZ@u]IxUQA rYRZtYGP\a]lczWrauUj@}UJcrFRtUUEHInUevXMk`QIBimYqXavj@x\UEvlAzeZYIvUXNXuB]A hbTDreRNN}uXlWzy|iurdf^o}nYb^gnqHYV_ZbnYR\DdjYu`NvIgz\QbJX^YV_dSzXEGb_A[LfZ \Mg}QQ^hnqne\Y|DCaYrTvfnd@yfOHEzyfYHsA[F{ibU|vhVysFwdjWgRssS[Q`rMJNw\DqVPu gD~vzrmh}GhzJVBryE@XEV_S`SZV[BkBWwMf\WlF^CCijcrIzyBf{qG@qsEGbJ`eLi_FKFwjTgv E|YwbPrsswudEpAkb]WGfPCoATIqVdyIhySwUZN`EirFdx}ySeqUkEhUWS^jxJkCYjHsFEcVGW RbnvQsJd}ZvZ|JpchQ|rvhKjHZcFdYUG[GeIzvdClzrzTsovBZgcDKEYUwGH}Y\U_@vjoSQIpP] alVKUjGgRjKWPr~ubr}vjiRpjrczjAjGfdSDDnJQZ]pCEQFaipBDXxzfJtxmfTjdqhWeJvlb JtjHh|ZUO`[]XA\GmmIlimgv@AiodcOYZwRMWfD^ZLNTj`h}GckY]hJHbrjgmIWdKnmC_BhebSP qfj\Y^ipizizmumkefOrHKVfTRceLfY]htXYXjl[XXmFimk{mqJymsJ]mm^`RJZlNDJdOFg[jr YJ\jYV]fkJgp_MjLi~TzlSaYdihI[lZFaq_GlTgDMPlDQhbvhKkjYChYKQdHeIhnndU|dOLinsb N]\c_jChaivRhKJJR^^TPKLYwNuhP[vhc^NMt[GJ@JycPdc[xDZe~]j@jHK^HlyjDlyjQotipPD ZvXDnclwnOZS]ughe]MRTW|gi@\mD\g[~_es|{h^jP~Cqv~tzoZeAvLUbpXmeFi_jSu\BNxOd ^\qz~PFpqTUjMzvsYuM@gZBVBzBbDiVp~bawa]bbxVfbYm^aVbUb~XdIvxKjuT`}uyW@`JbJX ipaH~_rFBe^[fHuglVeMYzQeNpiolJfTDAG\QZujZTjXzB_BCcUgnfj[aXzur{FZ]QblAoR~JHN bJmALFCgp]srsFL~~I]nZJrQixD_l]w^@ODnSnf^TzvJeFcafMxIDCiir`\VbVJ~nlDONFL}A SF{Ce@[~Mv@kIM^Ifj}ypredeeaEcpA~uAzI\FpnjpHMoLdntUFKE{^]jJyiiRcJnHUvSzTfc] u[vfZJOLD|f|\KjU]{ted\hZvg}qgEsxiy~KuK[\x[Ok~C[v@KXEHd^hnvsVLQBESAYgX|ZHlQ 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