\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \subsection{ \[ \text{Special Plane Curves} \] } \section{\protect\vspace{1pt}Ellipse} \subsubsection{\protect\vspace{1pt} \[ \text{by Matthew Winkle} \] } \subsubsection{ \[ \text{October1,1997} \] } \vspace{1pt} \vspace{1pt} \qquad The ellipse is most practically envisioned with the help of two pegs and a string of some length. \ Peg1 and peg2 are placed some distance apart onto an immovable surface. \ Tie an end of the sring to peg1 and the other end of the string to peg2. \ Take the pencil inside the loop of string and hold the lead against the surface. \ By holding the string as taught as possible at all times, move the pencil from one side of the line created by peg1 and peg2 around to the other side of that line. \ Then continue around the opposite side to the original starting position. \ This will create the locus of points of the ellipse characterized as the curve with the property that the sum of the distances from two given pegs, or foci, to any point on the curve is constant. \qquad An ellipse can also be described as the curve cut by a plane non-perpendicular and non-parallel to the base of a cone. \ This description of the ellipse as a section of a cone is the name of the category of curves for which the ellipse belongs, the conic section. \ Some other curves which belong to this categorty are the hyperbola, parabola and a circle can also be constructed by a cone cut by a plane. \ In fact, the parabola and circle can also be though of an ellipse with eccentricites of 1 and 0, respectively. \qquad Eccentricity is simply the value of the distance from the center of the ellipse to one focus divided by the distance of the vertex. \ The lower the value of the eccentricity, the more circular the ellipse. \ As the value approaches one, the ellipse becomes more and more elongated. \ When the value of the eccentricity reaches zero, the foci effectively lie exactly on the center of the ellipse, this gives a single focus to curve distance which is the radius of the ellipse-circle. \ When the value of the center to focus distance is equal to the distance of the vertex, then one focus lies on the locus of points, degrading the ellipse in the line segment known as the parabola. \ When the eccentricity is greater than one a hyperbola is described with one focus outside of the curve. \qquad The Cartesian equation for the ellipse can be found by letting the ellipse lie on the x-axis. \ The foci 'r1' and 'r2' lie on the points (-c,0) and (c,0) respectively and the value of the vertex is 'a'. \qquad $\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$ \vspace{1pt} Bring the second term to the right side and square both sides: \qquad $(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2}$ \vspace{1pt} Now solve for the square root term and simplify: \qquad $\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\frac{-1}{4a}% (x^{2}+2xc+c^{2}+c^{2}+y^{2}-4a^{2}-x^{2}+2xc-c^{2}-y^{2})$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $=\frac{-1}{4a}(4xc-4a^{2})=a-\frac{c}{a}% x $ \vspace{1pt} Square one final time and clear the remaining square root: \qquad $x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}=a^{2}-2cx+\frac{c^{2}}{a^{2}}x^{2}$ \vspace{1pt} Grouping the 'x' terms then gives: \qquad $x^{2}\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}+y^{2}=a^{2}-c^{2}$ \vspace{1pt} which can be written in the simple form: \qquad $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$ \vspace{1pt} Define a new constant: \qquad $let\qquad b^{2}=a^{2}-c^{2}$ \vspace{1pt} The equation can be made into the well known equation of an ellipse: \vspace{1pt}\qquad $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ \vspace{1pt} \qquad The ellipse can also be solved parametrically by describing the motion of a particle at time 't' over the position (x,y). \vspace{1pt} \qquad $let\qquad x=a\ast \cos (t),\qquad y=b\ast \sin (t),\qquad t=2\ast \pi $ \vspace{1pt} First eliminate 't' between the two equations: \qquad $\cos (t)=\frac{x}{a},\qquad \sin (t)=\frac{y}{b}$ \vspace{1pt} By using the trigonometric identity $\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1$, we can apply this to $\frac{x}{a}$ and $\frac{y}{b}$. \qquad $(\frac{x}{a})^{2}+(\frac{y}{b})^{2}=1$ \vspace{1pt} \qquad To find the initial point of movement, substitute 0 in for t.\qquad \qquad $x=a\ast \cos (0)=a,\qquad y=b\ast \sin (0)=0,$ \vspace{1pt} so the motion starts at (a,0). \ This is the point on the x-axis distance 'a' in the positive direction which is the value of the vertex. \ When 't' reaches 2*$\pi ,$ it will have traversed the locus of the ellipse exctly one and will reach the original starting position (a,0). \vspace{1pt} \FRAME{dtbpF}{378.0625pt}{327.3125pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "T";width 378.0625pt;height 327.3125pt;depth 0pt;original-width 63.25pt;original-height 63.25pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'graph.wmf';tempfile-properties "XNPR";}} \qquad The conic sections were first discovered by Menaechmus in Anchient Greece 375 B. C. \ The ellipse was named by Appollonius about a hundred years later. \ He was the first to define the ellipse, parabola and hyperbola in terms of cross sections of one circular cone. \ It wasn't until the Renaissance that the ellipse resurfaced. \qquad In the early 17th century, Johannes Kepler found that the planets of our solar system move in elliptical orbits, with the sun at one focus. \ Most of the planets' orbits in our solar system have a very low eccentricity, meaning they are almost circular. \ Only Pluto and Mercury have eccentricities greater than 0.1. \qquad However, comets have very large eccentricities. \ They often approach 1, which makes them very elongated. \ Edmund Halley knew knew this when he calculated the orbit of a comet in 1682. \ He successfully predicted the reoccurrence of the comet 76 years later in 1758. \ Predicions like these reinforced elliptical orbits as one of the fundamental concepts of physical astronomy. \qquad Another real-life application of the ellipse stems from the properties of the foci. \ When a ray is emanated from one focus, it will invariably reflect upon the other focus. \ An elliptical mirror will perfectly image an object located at one focus onto the other focus. \ This property is important in reducing weight and complexity of specialized projection systems. \ Elliptical mirrors can be used to collect the output of a bulb and direct it through the film gate of a projector while simultaneously redirecting the light through the projection lens. \ The property is also used in the Gregorian telescope where an elliptical mirror is used in conjunction with a parabolic mirror to reduce aberrations. \ For small objects, the quality of the image is nearly perfect. \qquad The property of light wave refection also applies similarly to sound waves. \ Here the slightest whisper at one focus is heard without difficulty from the other focus and with little degredation of sound quality. \ This effect was used practically in the Statuary Hall of the U. S. Capitol building. \ A century ago when the room was the Congressional Hall, one legislator was often found ''napping'' at his desk. \ He would sit intently with his ear to his desk. \ He was often considered a lazy person for this, but he was also infamous for enacting counter-legislation to oppose new bills, sometimes even before the bills were first proposed. \ It was found later that he had inadvertently discovered the sound reflecting properties of elliptical figures. \ The old Congressional Hall was modeled after a design called a whisper gallery. \ This is an elliptical figure for the purposed of asthetics and acouistic projection. \ To this legislator's good fortune, his desk was situated at one focus while a group of rival legislators often held ''secret'' discussions at the other focus. \ The napping man was actually evesdropping and could hear every whisper clearly from the other side of the room. \qquad The shape of the ellipse also has mechanical applications. \ Elliptical gears are used when varying speeds are required for certain machines. \ The gears are attached at one focus to an unfixed shaft. \ The shaft spins at a constant rate so angular momentum remains the same, however, the changing radius from the center point effectively changed the speed of the ellipse at a given contact point. \ When the radius is longest, centered about the shaft, the faster the elliptical gear turns the contact gear. \ When the radius is smaller the contact gear will spin more slowly. \qquad This varied speed property of the ellipse is used in the carival ride called ''The Zipper.'' \ The Zipper consists of many ellipse shaped cages freely attached at one focus to a larged ellipse with a high eccentricity that turns about its center. \ The passengers may flip themselves at will inside the smaller caged ellipses. \ The elliptical shape creates different accelerations throughout the flip which feels different from the constant centrifugal force created by a cirlce attached at its center. \ In the opinion of many riders, this adds much to the experience of the ride. \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/Winkle.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/graph.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@@@@@@@{I@@@@@@@@H@@I@@@CLJJ@@`A@XAD@@@@@XAD@@`IF|@@b@rUMYtPA@@ @@@@@A@PI|A@@@@`@@@@@@@B@@pYD@@@gq@@@A@@@@`G@@@@@@@@@@@@@@@c@@@@iA@@@@@@@@@ @@@@@xx@@@hjB@@@RQMYD@@D@@\FC@@DV@@@@A@@@@O@@@@`E@@@@V@@@@`L@@@`e@@@pt@@@@^ B@@@tD@AA@U@pD@AA`P@@B@FAPZ@\F@uA`\@TF@@@@@@\pAQ@@@@p@@@@P@@@@@KA@@@@D@@@@L @@@@E@@@@@B@@@P@@@@@A@@@@@A@@@@@@@@@@@@@@@TT@@@||@@@@@@@@@@@@@@PQA@@psC@@HA @@@@C@@@@A@@@@lD@@@@P@@@@p@@@@T@@@@@H@@@@A@@@@D@@@@@D@@@@@@@@@@@@@@@PQA@@ps C@@@@@@@@@@@@@@EE@@@OO@@`G@@@@X@@@@@@@@@Pz@EE@@@OO@@PL@@@@pE@@@D@@@@@@C `E@@@@@@@H@@@@@@B@@@BH@@@@@@B@`@@H@@@H`@@Lp@C@p\CL@fjL|@|~pC@h`RJ@@BH`@|O@ @@@@C@@O@@@@@Cp@|O@@|@|C@@~K@Bpo@|{o@@@P@AD@@@pc@@@@_B@@@|J@@@p o@@@@OC@@@|M@@@p{@D@@C@@O|O@@|q@@pKC@@|O@@|t@@pWC@@o}O@@|w@@pcC@@_~ 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