\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \begin{center} \textbf{Special Plane Curves} \textbf{\vspace{1pt}} Neva Holladay \vspace{1pt} Multivariable Calculus \vspace{1pt} \end{center} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpF}{3.4316in}{2.9603in}{0pt}{}{}{delscc.gif}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.4316in;height 2.9603in;depth 0pt;original-width 244.6875pt;original-height 210.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'delscc.gif';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt}\textbf{Description} \vspace{1pt} The deltoid was conceived by Euler in 1745 in connection with an optical problem. \ The deltoid was also investigated by Steiner in 1856. \ The deltoid (also called tricuspid or Steiner's hypocycloid) is in the hypocycloid family. The hypocycloid family also includes the astroid (four-cusped) and the cycloid (the path of a point on a circle rolling on a straight line). A deltoid is a three-cusped hypocycloid, and can be defined as the trace of a point on the circumference of a circle, rolling inside another circle ( shown in the figure 2 below). The circle rolls counter-clock-wise and may be either one-third ($a=3b$) or two-thirds ($% 2a=3b $) as large as the fixed circle.\FRAME{dtbpFU}{2.1223in}{2.1223in}{0pt% }{\Qcb{fig.2}}{}{hypotrochoiddeltoidgen1.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.1223in;height 2.1223in;depth 0pt;original-width 150.5625pt;original-height 150.5625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'hypotrochoidDeltoidGen1.gif';file-properties "XNPEU";}} \begin{center} \vspace{1pt} \vspace{1pt} \end{center} \vspace{1pt}\emph{Deltoid Equations}: \ (\ where $a$ is the radius of the rolling circle) \vspace{1pt} *Parametric Equations: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ x=a2cos(\theta )+acos(2\theta )$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ y=a2sin(\theta )-asin(2\theta )$ *Cartesian Equation: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $% (x^{2}+y^{2})^{2}-8ax(x^{2}-3y^{2})+18a^{2}(x^{2}\ +y^{2})=27a^{4}\ $ \vspace{1pt} Length of deltoid: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $L=16a$ \vspace{1pt} Area of deltoid: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $A=2\pi a^{2}$ \vspace{1pt} Intercepts of deltoid: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ (0,3a,0),(\pm \pi ,-a,0)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ (\pm \arccos (% \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}),0,\pm a\sqrt{(6\sqrt{3}-9)})$ \vspace{1pt} Period of deltoid: \ \ -$\pi $ $\leq $ $\theta $ $\leq $ $\pi $ \vspace{1pt} Domain of deltoid: \ $-\frac{3}{2}a\leq x\leq 3a$ \vspace{1pt} Range of deltoid: $\ -\frac{3\sqrt{3}}{2}a\leq y\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}a$ \vspace{1pt} Symmetry of deltoid: \ $y=0$ \ and \ $y=\pm \sqrt{3}x$ \vspace{1pt} The cusps of the deltoid: \ $(0,3a,0),(\pm \frac{2\pi }{3},-\frac{3}{2},\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}a)$ \vspace{1pt} \vspace{1pt} {\Large PARAMETRIZATION OF DELTOID} \vspace{1pt} A wheel of radius $CB$ rolls counter-clockwise along the circumference of the larger circle. The radius of the fixed circle is three or two-thirds as large as the wheel's radius. To find the parametric equations for the path traced by the point $P$ I want to find $P(x,y)$. The path is called the deltoid. \vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{3.6011in}{2.8504in}{0pt}{\Qcb{fig.4}}{}{% deltoid.gif}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 3.6011in;height 2.8504in;depth 0pt;original-width 258.1875pt;original-height 204pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'G:/USERS/Math50C/NHolladay/deltoid.gif';file-properties "XNPEU";}} Argue as follows (see fig.4): \begin{itemize} \item Let the radius($CB$) of the wheel be $\frac{1}{3}$ of the radius of the fixed circle. \item Then the length of $OB$ will be three-times as long \ as $CB$ (given by $3CB$). The line $OC$ has length $2CB$. \item \ The arc length $AB$ is $3CBt$, hence the arc length of $PB$ is $3CBt $. \ \vspace{1pt}Therefore, the coordinates of point $C$ are \[ (2acos(t),2asin(t)) \] \item The angle between $CB$ and $CM$ is $t$. \item Arc length of $AB$ divided by the length of $CB$ gives the angle between $OC$ and $CP$. \ \[ \frac{3at}{a}=3t \] \ \item The angle $3t$ subtracted from the angle $t$ gives the angle between $% CM$ and $CP$. \ Therefore, angle $PCM$ is \[ 3t-t=2t \] \item The length of $CM$ is \[ CBcos(2t) \] \item The length of $MP$ is \[ CBsin(2t) \] making \begin{eqnarray*} x &=&2CBcos(t)-CBcos(2t)\ \ \\ y &=&2CBsin(t)-CBsin(2t) \end{eqnarray*} \item Replacing: \ $CB$ with $a$\ \ and \ $t$ with $\theta $ gives \begin{eqnarray*} x &=&2acos(\theta )+acos(2\theta ) \\ \ y &=&2asin(\theta )-asin(2\theta ) \end{eqnarray*} \end{itemize} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\ $ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Matlab Generated Image of Deltoid (fig.3)} \vspace{1pt}\FRAME{dtbpFU}{519.9375pt}{519.9375pt}{0pt}{\Qcb{fig.3}}{}{% Figure }{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 519.9375pt;height 519.9375pt;depth 0pt;original-width 70.75pt;original-height 70.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename 'EHI1DC00.wmf';tempfile-properties "XPR";}} \vspace{1pt} \vspace{1pt}\ \ \ \ \ \vspace{1pt} \vspace{1pt} \textbf{References\ } \vspace{1pt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Lawrence, Dennis. \textit{A Catalog of Special Plane Curves. }Dover Publications, pp.131 - 137 1972 \vspace{1pt} Lockwood, E.H. \textit{A book of Curves. }Cambridge University Press, pp 72 - 79, 141 - 147 \ 1961 \vspace{1pt} Lee, X. ''Deltoid.'' \textit{http://www.best.com/\symbol{126}% xahlSpecialPaneCurves\_dir/Deltoid\_dir/deltoid.html.} \vspace{1pt} ''Mathematical Connectors With a Spirograph.'' \textit{The Mathematics Teach, Vol.85,n.2 February 1992} \vspace{1pt} ''tricuspid.'' \textit{http://www.math.cususb.edu./histor/public% \_html/curves/}Tricuspid.html \vspace{1pt} Yates, Robert. \textit{\ Curves And Their Properties. }pp 71 - 74 \ 1952 \vspace{1pt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/deltiod.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/delscc.gif %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GedQxdSXEE@FA@O@@|O@@DR~DD@@@@@@l@@@@@PQA`Q@@IpD~XjKw~CcrImZoxl^s{nP`g xHYiyIZjIXIh{kkj|L]mmL\^xMSN@{O]ACBdgqcHU}Zhn]l|eTSl]NT\hufZ_V\[lh`wxmKwqP M\mkUbagmLdsjhqR}IB{I^[VXObis[V^@Nf`YMUC{ItRB~gZLmV\p}U[mYG\sUwVJ\EdTMw]xmI LKxi_kavdYzhiwQzhdrVk`JG`bjEdXVEgTrKbeik__mkdrbziCN|lGCzYEs|kEZ|rhNYqeEmXG lelU]o_cqa@A]i@{\]HW~gRg]jlOM]FZmgjG\ttsxfFN~e^C~dxMF[QJSVkZ_pR[YcZqJZLkaG {ZHS_Rk\C[JQr_@\ccCf\iAFJ\]nOFKbypGfP[ugZyDuHq\qHntiGqqZBfQuOe]hBaOURQvurQ nnWJo_JGKVR|uOBZsf~MIMncVPY^oeqMcVtSfKIbNVfIC^t]ztqvth~QRRoozmRIl^bEZ]P~qvA }VnJusVOrjWgbQS~NU]JnPFjUMfViRxv]x~nwF{X_EUE~vvaxpZueNoaBsuMykqtGCzPOqoNpM opOkvzNqs]WRkKMJzXK{R~IR~ZSsVdVKVGTeV{DO{`K|tAW\kYwfSNcVeWYhnkaC}hsP~IR_Gx_ Sy^bv^\i{]ocStEGsIyCwjqo]{}}us^QYyn^vazhH]|Lv~{c_z~~lBXyK~Q_we_BX{mHAE\uU jV|pJCHCv`TSdALmD}A__fCZaLxo`]BcMYWhGZaKeAJbWuGVb_h@}HfElYblHFF^}uJvbrhKzE shMvbbS@^c{HMVa|xOv`PCPNdNXLRdGI{eWHyRrdMiHtLNYTZCPiR@EuhTRdWI_lQxEPiJMqvxc XyQhIWY]IbCVheHkI[vfny[Bgqi\Ngti[FdaRZdVZGB^Pev~HdgWrxJ[I|\Kid|TOFJfh[IhBB\ yYghdeXANUNJM}P~`aaRiIazLysehTyAzVXzKjO^VzEXFyQR]jFDR^OhzHXCF^pTRxIIPhf~ig vGnZ[Y~hjGXEIicYpFOcwebp]l\VQUMnvtdcsuniXwJV}kKxL}[FHlZl\`XE_UVJRFFU_ZIrZ Ot]rJfeYEJ`IXhwfAU^KMlSzif]ZzJgln`j{Mk\jfNKyvZaoO{bVltKN@cyfutl]Hsi\goNlQd g~NXgbQ\bYBSIuJtvYgg@Skvb`~LLJntHBuTuk\|^ea[gKIT|YsNp{KOUqoDLK^SGBwrdUNE_{| NGmaDeInsEAKRQXumt}lOKZEX|V\RMBVPn[JQuEGbIWN}SG]Te{dlNzLWZkBY{YcJHyurHqdjdw 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